ಮನಸ್ಸು ಸೆಟ್ ಮಾಡೋಣ
ಎಣಿಕೆಯಲ್ಲಿ ಕ್ರಮ ಮುಖ್ಯವೇ ಅಲ್ಲವೇ ಅನ್ನೋದನ್ನು ಮೊದಲು ಹಿಡಿದರೆ permutation ಮತ್ತು combination ನಡುವಿನ ಅರ್ಧ ಗೊಂದಲ ತಕ್ಷಣ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತೆ.
ಎರಡೂ ಎಣಿಕೆ, ಬೇರೆ ಲಾಜಿಕ್ — ಇಲ್ಲಿ ಕ್ರಮ ಮುಖ್ಯವಾಗಿದೆಯೇ ಇಲ್ಲವೇ ಅನ್ನೋ ಒಂದೇ ಪ್ರಶ್ನೆ, permutation ಮತ್ತು combination ನಡುವಿನ ಗೊಂದಲವನ್ನು ಬೇಗನೆ ಸರಳ ಮಾಡುತ್ತದೆ. By the end, you'll know: ಕ್ರಮ ಎಲ್ಲಿ ಮುಖ್ಯ, ಎಲ್ಲಿ ಅಲ್ಲ, ಯಾವುದು permutation, ಯಾವುದು combination. ಇವತ್ತು ನಾವು ಎಣಿಕೆ ಬಗ್ಗೆ ಒಂದು ಚಿಕ್ಕ ಆದರೆ ತುಂಬಾ ಮುಖ್ಯವಾದ ಮಾತು ನೋಡೋಣ. ಎಣಿಕೆ ಅಂದರೆ ಯಾವಾಗಲೂ ಒಂದೇ ತರ ಇರಲ್ಲ. ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಯಾರಾದರೂ ಮೊದಲೇ, ಯಾರಾದರೂ ನಂತರ ಅನ್ನೋ ಕ್ರಮ ಮುಖ್ಯ ಆಗುತ್ತೆ. ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಅಷ್ಟೇನೂ ಮುಖ್ಯ ಅಲ್ಲ. ಈ ಎರಡು ರೀತಿಯ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳನ್ನು ಬೇರೆ ಬೇರೆ ನೋಡಿ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಂಡ್ರೆ, ಅರ್ಧ ಗೊಂದಲ ಅಲ್ಲೇ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತೆ. ನೀವು ಮೂರು ಮಕ್ಕಳು ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ನಿಂತಿದ್ದೀರಿ ಅಂತ ಊಹಿಸಿ. ಒಬ್ಬನು ಮುಂದೆ, ಒಬ್ಬನು ಮಧ್ಯೆ, ಒಬ್ಬನು ಹಿಂದೆ. ಈಗ ಸ್ಥಾನ ಬದಲಾಯಿಸಿದ್ರೆ ದೃಶ್ಯ ಬದಲಾಗುತ್ತೆ. ಆದರೆ ಅದೇ ಮೂವರು ಸೇರಿ ಒಂದು ತಂಡ ಮಾಡಿದರೆ, ಯಾರು ಮುಂದೆ ನಿಂತರು ಅನ್ನೋದು ಅಷ್ಟೊಂದು ವಿಷಯ ಅಲ್ಲ. ಇದೇ ಮೊದಲ ಚಿಕ್ಕ ಪ್ಯಾಟರ್ನ್. ಅಂದರೆ, ಎಣಿಕೆ ಮಾಡುವಾಗ ಮೊದಲ ಪ್ರಶ್ನೆ ಇಡೀ ಆಟವನ್ನು ತೀರ್ಮಾನಿಸುತ್ತದೆ: ಕ್ರಮ ಬೇಕಾ, ಬೇಡವಾ? ನೀವು ಈ ಪ್ರಶ್ನೆ ಕೇಳಿದ್ರೆ, ನಂತರದ ಎಲ್ಲಾ ಲೆಕ್ಕ ಸರಿಯಾದ ದಾರಿಗೆ ಹೋಗುತ್ತೆ. ಕ್ರಮ ಬೇಕಾದರೆ ಒಂದು ಲಾಜಿಕ್. ಕ್ರಮ ಬೇಡವಾದರೆ ಇನ್ನೊಂದು ಲಾಜಿಕ್. ಹೀಗೆ ಚಿಕ್ಕ ಚಿಕ್ಕ ಉದಾಹರಣೆಗಳಿಂದ ಮನಸ್ಸು ಸೆಟ್ ಮಾಡಿಕೊಂಡರೆ, ದೊಡ್ಡ ಸೂತ್ರಗಳು ಕೂಡ ಭಯ ಹುಟ್ಟಿಸಲ್ಲ. ನಾವು ಈಗ ಯಾವುದೇ ಕಠಿಣ ಪದಕ್ಕೆ ಜಂಪ್ ಮಾಡೋಲ್ಲ. ಮೊದಲು ಕಣ್ಣು ಮುಂದೆ ಏನು ಬದಲಾಗುತ್ತಿದೆ ಅಂತ ನೋಡೋಣ. ಆಮೇಲೆ ಮಾತ್ರ ಲೇಬಲ್ ಹಾಕೋಣ. ಇದನ್ನೇ ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಿ: ಎಣಿಕೆ ಅಂದರೆ ಕೇವಲ ಸಂಖ್ಯೆ ಹೇಳೋದು ಅಲ್ಲ. ಯಾವ ಭಾಗ ಮುಖ್ಯ ಅಂತ ಗುರುತಿಸುವುದು. ಕ್ರಮ ಮುಖ್ಯವಾದರೆ ಒಂದು ರೀತಿ. ಕ್ರಮ ಮುಖ್ಯವಲ್ಲದರೆ ಇನ್ನೊಂದು ರೀತಿ. ಇವತ್ತಿನ ಪಾಠದ ಬಾಗಿಲು ಇದೇ. ಈಗ ಕ್ರಮ ಮುಖ್ಯವಾದ ಭಾಗಕ್ಕೆ ಹೋಗೋಣ. ಮೂರು ಮಕ್ಕಳ ಹೆಸರು ಅಂದ್ರೆ ಅ, ಬ, ಸ ಅಂತ ಇಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಿ. ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಅ-ಬ-ಸ ಇದ್ದರೆ ಅದು ಒಂದು ಉತ್ತರ. ಆದರೆ ಅ-ಸ-ಬ ಇದ್ದರೆ ಅದು ಬೇರೆ ಉತ್ತರ. ಇಲ್ಲಿ ಯಾರು ಯಾರ ಮುಂದೆ ಇದ್ದಾರೆ ಅನ್ನೋದೇ ಮುಖ್ಯ ಆಟ. ನೀವು ಸೀಟು ಹಂಚುತ್ತಿರುವಾಗಲೂ ಇದೇ ತರ. ಮೊದಲ ಸೀಟು, ಎರಡನೇ ಸೀಟು, ಮೂರನೇ ಸೀಟು ಅಂತ ಸ್ಥಾನಗಳು ಇದ್ದರೆ, ಯಾರಿಗೆ ಯಾವ ಸ್ಥಾನ ಸಿಕ್ಕಿತು ಅನ್ನೋದು ಲೆಕ್ಕದ ಭಾಗವಾಗುತ್ತದೆ. ಸ್ಥಾನ ಬದಲಾಗಿದ್ರೆ ಉತ್ತರ ಕೂಡ ಬದಲಾಗುತ್ತೆ. ಇದಕ್ಕೆ ನಾವು permutation ಅಂತ ಹೆಸರಿಡುತ್ತೇವೆ. ಆದರೆ ಹೆಸರುಗಿಂತ ಮುಖ್ಯವಾದುದು ನೀವು ನೋಡಬೇಕಾದ ವಿಷಯ: ಕ್ರಮ ಇದ್ದರೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬದಲಾವಣೆಯೂ ಹೊಸ ಉತ್ತರ. ಅಂದರೆ ಲೆಕ್ಕದಲ್ಲಿ ಸ್ಥಾನಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ನೋಡಬೇಕು. ಇಗಾ ಇನ್ನೊಂದು ಬದಿ. ನಾಲ್ಕು ಸ್ನೇಹಿತರು ಇದ್ದಾರೆ ಅಂತ ಇಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಿ, ಆದರೆ ನೀವು ಅವರಿಂದ ಎರಡು ಜನರ ತಂಡ ಮಾತ್ರ ಮಾಡಬೇಕು. ಇಲ್ಲಿ ಯಾರು ಆಯ್ಕೆಯಾದರು ಅನ್ನೋದೇ ಮುಖ್ಯ. ಯಾರನ್ನು ಮೊದಲು ಕರೆದೆ, ಯಾರನ್ನು ನಂತರ ಕರೆದೆ ಅನ್ನೋದು ಅಷ್ಟೊಂದು ದೊಡ್ಡ ವಿಷಯ ಅಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಅ ಮತ್ತು ಬ ತಂಡದಲ್ಲಿದ್ದರೆ, ಬ ಮತ್ತು ಅ ಕೂಡ ಅದೇ ತಂಡ. ತಂಡದ ಒಳಗಿನ ಸ್ಥಾನ ಬದಲಾದರೂ ಗುಂಪು ಅದೇ. ಅಂದರೆ ಇಲ್ಲಿ ನೀವು ಸದಸ್ಯರನ್ನು ನೋಡುತ್ತೀರಿ, ಸೀಟುಗಳನ್ನು ಅಲ್ಲ. ಇದಕ್ಕೆ combination ಅಂತ ಹೇಳುತ್ತೇವೆ. ಗುಂಪು ಮುಖ್ಯ, ಕ್ರಮ ಅಲ್ಲ. ನೀವು ಯಾರನ್ನು ಸೇರಿಸಬೇಕು ಅಂತ ಮಾತ್ರ ನೋಡುತ್ತೀರಿ. ಈ ಚಿಕ್ಕ ವ್ಯತ್ಯಾಸವೇ ಲೆಕ್ಕದ ಲಾಜಿಕ್ ಅನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣ ಬದಲಿಸುತ್ತದೆ.
ಒಂದೇ ಪ್ರಶ್ನೆ, ಬೇರೆ ಉತ್ತರ
ಸ್ಥಾನ ಬದಲಾಗಿದ್ರೆ permutation, ಕೇವಲ ಗುಂಪು ಮುಖ್ಯವಾದ್ರೆ combination ಅನ್ನೋದು ಚಿಕ್ಕ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳಿಂದ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತೆ.
ಇವತ್ತು ನಾವು ಎಣಿಕೆ ಬಗ್ಗೆ ಒಂದು ಚಿಕ್ಕ ಆದರೆ ತುಂಬಾ ಮುಖ್ಯವಾದ ಮಾತು ನೋಡೋಣ. ಎಣಿಕೆ ಅಂದರೆ ಯಾವಾಗಲೂ ಒಂದೇ ತರ ಇರಲ್ಲ. ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಯಾರಾದರೂ ಮೊದಲೇ, ಯಾರಾದರೂ ನಂತರ ಅನ್ನೋ ಕ್ರಮ ಮುಖ್ಯ ಆಗುತ್ತೆ. ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಅಷ್ಟೇನೂ ಮುಖ್ಯ ಅಲ್ಲ. ಈ ಎರಡು ರೀತಿಯ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳನ್ನು ಬೇರೆ ಬೇರೆ ನೋಡಿ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಂಡ್ರೆ, ಅರ್ಧ ಗೊಂದಲ ಅಲ್ಲೇ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತೆ. ನೀವು ಮೂರು ಮಕ್ಕಳು ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ನಿಂತಿದ್ದೀರಿ ಅಂತ ಊಹಿಸಿ. ಒಬ್ಬನು ಮುಂದೆ, ಒಬ್ಬನು ಮಧ್ಯೆ, ಒಬ್ಬನು ಹಿಂದೆ. ಈಗ ಸ್ಥಾನ ಬದಲಾಯಿಸಿದ್ರೆ ದೃಶ್ಯ ಬದಲಾಗುತ್ತೆ. ಆದರೆ ಅದೇ ಮೂವರು ಸೇರಿ ಒಂದು ತಂಡ ಮಾಡಿದರೆ, ಯಾರು ಮುಂದೆ ನಿಂತರು ಅನ್ನೋದು ಅಷ್ಟೊಂದು ವಿಷಯ ಅಲ್ಲ. ಇದೇ ಮೊದಲ ಚಿಕ್ಕ ಪ್ಯಾಟರ್ನ್. ಅಂದರೆ, ಎಣಿಕೆ ಮಾಡುವಾಗ ಮೊದಲ ಪ್ರಶ್ನೆ ಇಡೀ ಆಟವನ್ನು ತೀರ್ಮಾನಿಸುತ್ತದೆ: ಕ್ರಮ ಬೇಕಾ, ಬೇಡವಾ? ನೀವು ಈ ಪ್ರಶ್ನೆ ಕೇಳಿದ್ರೆ, ನಂತರದ ಎಲ್ಲಾ ಲೆಕ್ಕ ಸರಿಯಾದ ದಾರಿಗೆ ಹೋಗುತ್ತೆ. ಕ್ರಮ ಬೇಕಾದರೆ ಒಂದು ಲಾಜಿಕ್. ಕ್ರಮ ಬೇಡವಾದರೆ ಇನ್ನೊಂದು ಲಾಜಿಕ್. ಅದೇ ಪ್ರಶ್ನೆ ಈಗ ಸ್ವಲ್ಪ ಬೇರೆ ರೀತಿ ನೋಡಿ. ಇವತ್ತು ನಾವು ಎಣಿಕೆ ಬಗ್ಗೆ ಒಂದು ಚಿಕ್ಕ ಆದರೆ ತುಂಬಾ ಮುಖ್ಯವಾದ ಮಾತು ನೋಡೋಣ. ಎಣಿಕೆ ಅಂದರೆ ಯಾವಾಗಲೂ ಒಂದೇ ತರ ಇರಲ್ಲ; ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಕ್ರಮ ಮುಖ್ಯ, ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಅಲ್ಲ. ಈ ಎರಡು ರೀತಿಯ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳನ್ನು ಬೇರೆ ಬೇರೆ ನೋಡಿ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಂಡ್ರೆ, ಅರ್ಧ ಗೊಂದಲ ಅಲ್ಲೇ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತೆ. ನೀವು ಮೂರು ಮಕ್ಕಳು ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ನಿಂತಿದ್ದೀರಿ ಅಂತ ಊಹಿಸಿ. ಒಬ್ಬನು ಮುಂದೆ, ಒಬ್ಬನು ಮಧ್ಯೆ, ಒಬ್ಬನು ಹಿಂದೆ. ಈಗ ಸ್ಥಾನ ಬದಲಾಯಿಸಿದ್ರೆ ದೃಶ್ಯ ಬದಲಾಗುತ್ತೆ. ಆದರೆ ಅದೇ ಮೂವರು ಸೇರಿ ಒಂದು ತಂಡ ಮಾಡಿದರೆ, ಯಾರು ಮುಂದೆ ನಿಂತರು ಅನ್ನೋದು ಅಷ್ಟೊಂದು ವಿಷಯ ಅಲ್ಲ. ಇದೇ ಮೊದಲ ಚಿಕ್ಕ ಪ್ಯಾಟರ್ನ್. ಅಂದರೆ, ಎಣಿಕೆ ಮಾಡುವಾಗ ಮೊದಲ ಪ್ರಶ್ನೆ ಇಡೀ ಆಟವನ್ನು ತೀರ್ಮಾನಿಸುತ್ತದೆ: ಕ್ರಮ ಬೇಕಾ, ಬೇಡವಾ? ನೀವು ಈ ಪ್ರಶ್ನೆ ಕೇಳಿದ್ರೆ, ನಂತರದ ಎಲ್ಲಾ ಲೆಕ್ಕ ಸರಿಯಾದ ದಾರಿಗೆ ಹೋಗುತ್ತೆ. ಕ್ರಮ ಬೇಕಾದರೆ ಒಂದು ಲಾಜಿಕ್. ಕ್ರಮ ಬೇಡವಾದರೆ ಇನ್ನೊಂದು ಲಾಜಿಕ್. ಹೀಗೆ ಚಿಕ್ಕ ಚಿಕ್ಕ ಉದಾಹರಣೆಗಳಿಂದ ಮನಸ್ಸು ಸೆಟ್ ಮಾಡಿಕೊಂಡರೆ, ದೊಡ್ಡ ಸೂತ್ರಗಳು ಕೂಡ ಭಯ ಹುಟ್ಟಿಸಲ್ಲ. ನಾವು ಈಗ ಯಾವುದೇ ಕಠಿಣ ಪದಕ್ಕೆ ಜಂಪ್ ಮಾಡೋಲ್ಲ. ಮೊದಲು ಕಣ್ಣು ಮುಂದೆ ಏನು ಬದಲಾಗುತ್ತಿದೆ ಅಂತ ನೋಡೋಣ. ಆಮೇಲೆ ಮಾತ್ರ ಲೇಬಲ್ ಹಾಕೋಣ. ಇದನ್ನೇ ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಿ: ಎಣಿಕೆ ಅಂದರೆ ಕೇವಲ ಸಂಖ್ಯೆ ಹೇಳೋದು ಅಲ್ಲ. ಯಾವ ಭಾಗ ಮುಖ್ಯ ಅಂತ ಗುರುತಿಸುವುದು. ಕ್ರಮ ಮುಖ್ಯವಾದರೆ ಒಂದು ರೀತಿ. ಕ್ರಮ ಮುಖ್ಯವಲ್ಲದರೆ ಇನ್ನೊಂದು ರೀತಿ. ಇವತ್ತಿನ ಪಾಠದ ಬಾಗಿಲು ಇದೇ. ಹಿಂದಿನ ಮಾತಿನ ಮೇಲೆಯೇ ಈಗ ಡಿಟೆಕ್ಟಿವ್ ಕೆಲಸ ಶುರು. ಇವತ್ತು ನಾವು ಎಣಿಕೆ ಬಗ್ಗೆ ಒಂದು ಚಿಕ್ಕ ಆದರೆ ತುಂಬಾ ಮುಖ್ಯವಾದ ಮಾತು ನೋಡೋಣ. ಎಣಿಕೆ ಅಂದರೆ ಯಾವಾಗಲೂ ಒಂದೇ ತರ ಇರಲ್ಲ; ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಯಾರಾದರೂ ಮೊದಲೇ, ಯಾರಾದರೂ ನಂತರ ಅನ್ನೋ ಕ್ರಮ ಮುಖ್ಯ ಆಗುತ್ತೆ. ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಅಷ್ಟೇನೂ ಮುಖ್ಯ ಅಲ್ಲ. ನೀವು ಮೂರು ಮಕ್ಕಳು ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ನಿಂತಿದ್ದೀರಿ ಅಂತ ಊಹಿಸಿ. ಒಬ್ಬನು ಮುಂದೆ, ಒಬ್ಬನು ಮಧ್ಯೆ, ಒಬ್ಬನು ಹಿಂದೆ. ಈಗ ಸ್ಥಾನ ಬದಲಾಯಿಸಿದ್ರೆ ದೃಶ್ಯ ಬದಲಾಗುತ್ತೆ. ಆದರೆ ಅದೇ ಮೂವರು ಸೇರಿ ಒಂದು ತಂಡ ಮಾಡಿದರೆ, ಯಾರು ಮುಂದೆ ನಿಂತರು ಅನ್ನೋದು ಅಷ್ಟೊಂದು ವಿಷಯ ಅಲ್ಲ. ಇದೇ ಮೊದಲ ಚಿಕ್ಕ ಪ್ಯಾಟರ್ನ್. ಅಂದರೆ, ಎಣಿಕೆ ಮಾಡುವಾಗ ಮೊದಲ ಪ್ರಶ್ನೆ ಇಡೀ ಆಟವನ್ನು ತೀರ್ಮಾನಿಸುತ್ತದೆ: ಕ್ರಮ ಬೇಕಾ, ಬೇಡವಾ? ನೀವು ಈ ಪ್ರಶ್ನೆ ಕೇಳಿದ್ರೆ, ನಂತರದ ಎಲ್ಲಾ ಲೆಕ್ಕ ಸರಿಯಾದ ದಾರಿಗೆ ಹೋಗುತ್ತೆ. ಕ್ರಮ ಬೇಕಾದರೆ ಒಂದು ಲಾಜಿಕ್. ಕ್ರಮ ಬೇಡವಾದರೆ ಇನ್ನೊಂದು ಲಾಜಿಕ್. ಅದೇ ಡಿಟೆಕ್ಟಿವ್ ಅಭ್ಯಾಸದ ಉತ್ತರವನ್ನು ಈಗ ನೆನಪಿನ ಶಾರ್ಟ್ಕಟ್ಗೆ ತರುತ್ತೇವೆ. ಇವತ್ತು ನಾವು ಎಣಿಕೆ ಬಗ್ಗೆ ಒಂದು ಚಿಕ್ಕ ಆದರೆ ತುಂಬಾ ಮುಖ್ಯವಾದ ಮಾತು ನೋಡೋಣ. ಎಣಿಕೆ ಅಂದರೆ ಯಾವಾಗಲೂ ಒಂದೇ ತರ ಇರಲ್ಲ. ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಯಾರಾದರೂ ಮೊದಲೇ, ಯಾರಾದರೂ ನಂತರ ಅನ್ನೋ ಕ್ರಮ ಮುಖ್ಯ ಆಗುತ್ತೆ. ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಅಷ್ಟೇನೂ ಮುಖ್ಯ ಅಲ್ಲ. ಇಗಾ ನಿಮಗೆ permutation ಮತ್ತು combination ಬಗ್ಗೆ ಕ್ಲಿಯರ್ ಆಗಿದೆ. ನೀವು ಕಲಿತಿದ್ದೀರಿ: ಕ್ರಮ ಮುಖ್ಯವಾದ ಎಣಿಕೆ, ಗುಂಪು ಮಾತ್ರ ಮುಖ್ಯ, ಮತ್ತು ಚಿಕ್ಕ ಟೆಸ್ಟ್ನಿಂದ ಬೇಧ. ಮುಂದಿನ ಬಾರಿ ಎಣಿಕೆ ನೋಡಿದಾಗ, ಕ್ರಮವೇ ಲಾಜಿಕ್ ಅನ್ನು ಹಿಡಿದಿರೋದು ಕಂಡುಬರುತ್ತೆ. You've got this. See you on the next one.
